月刊ホームページ２００１年８月号

数理システム科学科

数理システム解析講座

級数の「不思議発見！」

駆け足自慢のアキレスがカメを追いかけています。

カメはアキレスの前方１０００メートルを，アキレスの１／１０のスピードで進んでいます。

アキレスが，カメのいる１０００メートル先に到着する間に，カメは１００メートル先に進んでいます。

アキレスが，この１００メートル先に到着する間に，カメはさらに１０メートル先に進みます。

アキレスが，その10メートルをつめる間に，カメはさらに１メートル先に進みます。

アキレスが，・・・，カメが，・・・。アキレスが，・・・，カメが，・・・。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

結局，アキレスがカメに追い付くまでに，カメは何メートル進んだのでしょうか？

最初に，１００メートルで，つぎが１０メートル，そのつぎが１メートルだから・・・

$\begin{displaymath}100 + 10 + 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000}+ \cdots \end{displaymath}$

これをずっと続けると・・・

高校３年生のみなさんは，もうおわかりですね。

初項が１００，公比１／１０の等比級数だから，答えは，

$\begin{displaymath}\frac{100}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1000}{9} \end{displaymath}$

約１１１．１１メートルですね。

それでは，つぎの級数はどうでしょう？

$\begin{displaymath}1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \... ...c{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} +\frac{1}{16} + \cdots \end{displaymath}$

カッコで括って，つぎのように書き直してみましょう。

$\begin{displaymath}1 + \frac{1}{2} + ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ) + ( \frac{1}{... ...{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} +\frac{1}{16}) + \cdots \end{displaymath}$

$\displaystyle \frac{1}{3} > \frac{1}{4}$ 　ですから，最初のカッコは $\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ 　より大きくなります。

$\displaystyle \frac{1}{5},\, \frac{1}{6},\, \frac{1}{7}$ 　はすべて $\displaystyle \frac{1}{8}\,$ より大きいので，二番目のカッコは， $\displaystyle \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\,$ より大きくなります。おなじように考えると，３番目のカッコも $\displaystyle \frac{1}{16} \times 8$ より大きくなります。

これを繰り返せば，上の級数は，

$\begin{displaymath}1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = \infty \end{displaymath}$

より大きくなり，結局，もとの級数は $\infty$ 　に発散することが分かります。

それでは，もうひと捻りしてみましょう。

$\begin{displaymath}1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \... ...{1}{13} - \frac{1}{14} + \frac{1}{15} - \frac{1}{16} + \cdots \end{displaymath}$

これはどうでしょう？

実は，この級数は $\log 2$ 　に収束します。試みに，等比級数の公式

$\begin{displaymath}\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots \end{displaymath}$

を，０から１まで積分してみてください。

それはともかく，いま　 $L = \log 2$ 　と書くことにしましょう。つまり，

$\begin{displaymath}L = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5}... ...{1}{13} - \frac{1}{14} + \frac{1}{15} - \frac{1}{16} + \cdots \end{displaymath}$

この両辺に，２を掛けます。すると，

$\begin{eqnarray*}2L &=& 2 - \frac{2}{2} + \frac{2}{3} - \frac{2}{4} + \frac{2}{5... ...rac{2}{13} - \frac{1}{7} + \frac{2}{15} - \frac{1}{8} + \cdots \end{eqnarray*}$

ここで，右辺をならべかえて，分母が同じものをひと括りにしてみましょう。すると，

$\begin{eqnarray*}2L &=& ( 2 -1 ) - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - \... ... \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \cdots \end{eqnarray*}$

不思議なことに，もとの級数が，ここでは $2L = \log 4$ に収束しています。さらに両辺を２倍して同じようにならべかえると， $4L = \log 16 , 8L = \log 256 , 16L = \log 65536 , 32L , 64L, ...$ に収束することもわかります。

いったい何が起こったのでしょうか？

答えは，高木貞治，「解析概論」（岩波書店）の第４３節，または E.P.ノースロップ，「ふしぎな数学」(みすず書房) の第７章を読んでみて下さい。